Учебное пособие призвано создать общее представление о математических методах, позволяющих проводить изучение рынков капитала, и принципиальных идеях, положенных в основу этих методов. Здесь рассматриваются вопросы, заслуживающие особого внимания в связи со своей важностью как в теоретических исследованиях, так и в практическом применении. Это – математические модели, позволяющие описывать и прогнозировать функционирование как отдельных финансовых активов, так и их совокупностей. Практически все рассматриваемые методы проиллюстрированы примерами.
Содержание
Предисловие
Глава 1. Рынки капитала, потребление и инвестиции
Введение
Потребление и инвестиции в отсутствие рынков капитала
Потребление и инвестиции в условиях рынка капитала
Вопросы и задания к главе 1
Глава 2. Теория предпочтений в условиях неопределенности
Введение
Аксиомы предпочтения в условиях неопределенности
Функция полезности
Понятие несклонности к риску
Стохастическое доминирование
Использование математического ожидания и дисперсии как критериев выбора
Вопросы и задания к главе 2
Глава 3. Теория предпочтений в условиях неопределенности будущих состояний
Введение
Неопределенность и альтернативные будущие состояния
Чистые ценные бумаги
Полный рынок капитала
Условие отсутствия арбитражного дохода
Факторы, определяющие цены ценных бумаг
Оптимальные портфельные решения в терминах чистых ценных бумаг
Условия оптимальности портфеля
Вопросы и задания к главе 3
Глава 4. Портфельный анализ и выбор портфеля
Введение
Графическое изображение портфелей ценных бумаг
Характеристики портфеля ценных бумаг
Методы нахождения эффективной границы
Диверсификация риска
Вопросы и задания к главе 4
Глава 5. Модели оценки финансовых активов
Введение
Модель CAPM (Capital Assets Pricing Model)
Анализ предпосылок CAPM
Модель CAPM в предположении об отсутствии безрискового актива
Эмпирическая проверка CAPM
Критика модели CAPM
Многофакторная CAPM
Модель арбитражного ценообразования
Вопросы и задания к главе 5
Глава 6. Методы эмпирической проверки модели CAPM
Введение
Теоретический аспект проверки модели CAPM
Практический подход к определению корреляционных связей между доходностью отдельных акций и рынка в целом
Вопросы к главе 6
Приложение 1. Методы статистической обработки данных
Приложение 2. Временная структура процентных ставок
Заключение
Список литературы
ОТРЫВОК
Глава 1.
Рынки капитала, потребление и инвестиции
Введение
В этой главе мы сначала рассмотрим простейший случай — экономическую систему с одним товаром, в которой действует один человек. Этот один человек — лицо, принимающее решение, — должен сделать выбор между потреблением в настоящий период времени и потреблением в будущем, т. е. инвестициями. Для принятия решения ему необходимо, во-первых, оценить свою собственную субъективную позицию относительно потребления и инвестиций. Эта информация отражается функцией полезности и может быть представлена графически в виде кривых безразличия. Во-вторых, ему нужно оценить все возможные альтернативы между потреблением и инвестициями, которые представлены в экономике. Эти альтернативы могут быть изображены графически как допустимые множества инвестиций и производственных возможностей.
Анализируя этот простейший случай, мы убедимся, что неотъемлемой частью решений о потреблении/инвестициях являются процентные ставки, о которых можно говорить как о цене (или норме доходности) инвестиций. Затем мы перейдем к рассмотрению экономической системы с множеством лиц, принимающих решения, где существуют возможности замены потребления инвестициями путем заимствования или кредитования. Будет показано, что эти возможности отражены в единой рыночной ставке процента, которую каждый может использовать как сигнал для принятия оптимальных решений о потреблении/инвестициях. Кроме того мы увидим, что экономическая система, в которой используются рыночные цены (процентные ставки) для распределения ресурсов, является лучшей по сравнению с экономической системой без ценового механизма в том плане, что ни один человек в рыночной экономике не имеет меньшего благосостояния и, по крайней мере, один человек имеет большее благосостояние, чем единственное лицо в простейшей экономической системе.
Потребление и инвестиции в отсутствие рынков капитала
Для того чтобы ответить на вопрос о том, приносит ли пользу наличие рынков капитала, мы должны сравнить экономическую систему без них с экономической системой с ними.
Будем предполагать для простоты, что все доходы от инвестиций известны определенно, отсутствуют трансакционные издержки и налоги, а решения принимаются в одном периоде. Предположим также, что все лица, принимающие решения, обеспечены доходом в начале периода y0 и доходом в конце периода y1. Эти лица должны принять решение о том, сколько средств выделить на потребление сейчас C0 и сколько инвестировать в производственные возможности для того, чтобы обеспечить потребление в конце периода C1.
Предполагается, что лицо, принимающее решение, предпочитает большее потребление меньшему. Другими словами, предельная полезность потребления всегда положительна. Также мы предполагаем, что предельная полезность потребления уменьшается. Кривая общей полезности показывает полезность потребления в начале периода в предположении, что потребление в следующем периоде остается неизменным. Изменения в потреблении наносятся на ось абсцисс с равными приращениями. Заметим, что каждое увеличение потребления является причиной увеличения общей полезности (предельная полезность положительна), но приращения общей полезности становятся все меньше и меньше (предельная полезность уменьшается).
Таким же образом мы можем построить график общей полезности в конце периода U (C1) и затем, комбинируя оба графика, получаем изображение альтернативы между потреблением в начале периода C0 и потреблением в конце периода C1. Пунктирные линии представляют контуры вдоль поверхности полезности, где различные комбинации C0 и C1 обеспечивают одну и ту же общую полезность (измеряемую вдоль оси ординат). Так как все точки вдоль одного контура (например точки A и B) имеют равную общую полезность, лицо, принимающее решение, будет безразлично по отношению к ним, т. е. контуры представляют собой кривые безразличия. Мы можем спроектировать кривые безразличия на плоскость, формируемую осями C0 и C1. Инвестор будет безразличен к выбору точки А с потреблением (C0a, C1a) или точки B с потреблением (C0b, C1b).
Мы показали, как инвестор будет осуществлять выбор между векторами потребления с течением времени. Введем теперь производственные возможности, которые позволят единице текущих сбережений превратиться в более чем одну единицу будущего потребления. Предполагается, что каждый инвестор имеет график возможностей инвестирования в производственные мощности. Заметим, что график возможностей инвестирования необязательно является прямой линией — это может быть любая убывающая функция, что означает снижение предельной доходности инвестиций, поскольку чем больше средств лицо инвестирует, тем ниже норма доходности предельных инвестиций. Также предполагается, что все инвестиции не зависят друг от друга и являются абсолютно делимыми.
Инвестор будет осуществлять все инвестиции в производственные мощности, норма доходности которых выше, чем его собственная субъективная норма временных предпочтений ri. Это можно продемонстрировать, если мы преобразуем график возможностей производственных инвестиций в плоскость, формируемую осями C0 и C1. Наклон линии, касательной к кривой ABX — это норма, по которой рубль потребления, от которого отказались в начале периода, трансформируется в рубль потребления в конце периода. Она носит название предельной нормы трансформации (MRT).
Инвестор, имеющий вектор дохода (y0, y1) и полезность U1, может двигаться вдоль множества производственных возможностей до точки B, в которой этого множества касается кривая безразличия, и таким образом достигать максимально допустимой полезности U2. Поскольку текущее потребление C0 меньше, чем первоначальный доход y0, лицо, принимающее решения, предпочитает осуществлять инвестиции. Сумма инвестиций равна (y0 – C0). И наоборот, если C0 > y0, инвестирование будет сокращаться. Заметим, что предельная норма доходности последней осуществленной инвестиции (т. е. MRT, наклон линии, касательной к допустимому множеству в точке B) в точности равна субъективному временному предпочтению инвестора (т. е. MRS, наклону линии, касательной к кривой безразличия также в точке B). Другими словами, субъективная предельная норма замещения для инвестора равна предельной норме трансформации MRS = MRT.
Это всегда будет выполняться в экономической системе с одним инвестором, в которой нет возможностей обмена, т. е. отсутствуют рынки капитала. Лицо, принимающее решение, имеющее первоначальный вектор дохода (y0, y1), сравнивает предельную норму доходности рубля производственных инвестиций со своим субъективным временным предпочтением. Если норма инвестирования больше (как на рис. 1.5), он будет достигать большей полезности путем инвестирования. Этот процесс продолжается до тех пор, пока норма доходности последнего рубля производственных инвестиций не будет в точности равна субъективному временному предпочтению. Заметим, что в точке B потребление инвестора в каждый момент времени в точности равно результату от производства, т. е. P0 = C0 и P1 = C1.
В отсутствие рынков капитала инвесторы с одинаковым первоначальным доходом и одинаковым допустимым множеством инвестиций могут выбирать абсолютно различные инвестиции, так как они имеют различные кривые безразличия. Это показано на рис. 1.6. Инвестор 2, который имеет более низкую норму временного предпочтения, предпочтет инвестировать больше, чем инвестор .
Потребление и инвестиции в условиях рынка капитала
Экономическая система с одним лицом, принимающим решения, характеризуется отсутствием возможностей межвременного обмена потребительскими наборами среди инвесторов. В экономической системе с несколькими инвесторами межвременной обмен наборами потребления представлен возможностью заимствования или кредитования неограниченных сумм по определенной рынком ставке процента r. (О временной структуре процентных ставок см. в приложении 2). Финансовые рынки способствуют движению средств между кредиторами и заемщиками. Поскольку процентные ставки положительны, любая сумма средств, предоставленная в кредит в начале периода, увеличится на сумму процента в конце периода. Не принимая в расчет производственные возможности, можно изобразить графически возможности кредитования и заимствования, которые будут представлять собой линию рынка капитала (линия W0ABW1 на рис. 1.7).
Как максимизировать полезность при имеющемся семействе кривых безразличия U1, U2, U3 и доходе (y0, y1) в точке A? Из точки A инвестор может двигаться либо вдоль множества производственных возможностей, либо вдоль линии рынка капитала. При обоих вариантах достигается более высокая норма доходности, чем субъективное временное предпочтение инвестора. Однако множество производственных возможностей имеет более крутой наклон, т. е., двигаясь вдоль него, инвестор имеет более высокую норму доходности, чем при движении вдоль линии рынка капитала, поэтому он предпочтет вкладывать средства в производство. Не имея возможности заимствовать или давать в долг, инвестор прекратил бы инвестирование в точке D, где предельная доходность производственных инвестиций равна его субъективному временному предпочтению (этот результат был показан на рис. 1.5). В точке D уровень полезности возрастает с U1 до U2. Имея возможность брать деньги в долг, инвестор может реально улучшить свое положение. Заметим, что в точке D ставка процента по кредиту, равная углу наклона линии рынка, меньше, чем норма доходности предельных инвестиций, равная углу наклона множества производственных возможностей в точке D. Поскольку доходность дальнейших инвестиций больше, чем стоимость заемных средств, инвестор будет продолжать вкладывать средства до тех пор, пока предельная доходность инвестиций не станет равной ставке процента по кредиту в точке B. В точке B инвестор имеет вектор объема производства (P0, P1), и настоящая стоимость дохода становится равной вместо W0. Так как временное предпочтение инвестора в точке B больше, чем рыночная норма доходности, потребление инвестора будет больше, чем текущий объем производства P0. Путем заимствования инвестор может достичь точки C на линии рынка капитала. Оптимальное потребление находится, как и раньше, там, где субъективное предпочтение инвестора равно рыночной норме доходности. Полезность возрастает с U1 в точке A (первоначальный доход) до U2 в точке D (оптимальное решение в случае экономической системы с одним инвестором) и затем — до U3 в точке C (оптимальное решение в случае экономической системы с возможностью обмена). Очевидно, что инвестор имеет большее благосостояние в условиях рынка капитала, поскольку U3 > U2.
Процесс принятия решения в условиях наличия производственных возможностей и возможностей обмена происходит в два этапа:
1. выбирается оптимальное решение о производстве путем принятия инвестиционных проектов до тех пор, пока предельная норма доходности инвестиций не станет равной объективной рыночной норме доходности;
2. выбирается оптимальное решение о потреблении путем заимствования или кредитования, чтобы приравнять субъективное временное предпочтение инвестора к рыночной норме доходности.
Такое разделение решений относительно инвестирования и потребления известно под названием теоремы разделения Фишера, которая звучит следующим образом: в условиях совершенного рынка капитала решение об инвестировании определяется исключительно по объективному рыночному критерию, представляющему собой максимизацию полезности, вне зависимости от субъективных предпочтений инвестора, которые являются критерием определения решения о потреблении.
При заданных одинаковых допустимых множествах все инвесторы будут принимать одинаковые производственные решения (P0, P1) вне зависимости от вида их кривых безразличия. Это продемонстрировано на рис. 1.9. И инвестор 1, и инвестор 2 будут выбирать вектор производства (P0, P1). Оба инвестора имеют большее благосостояние в условиях рынка капитала. В отсутствие возможностей, предоставляемых рынком капитала, инвестор 1 предпочел бы точку Y, а инвестор 2 — точку X, при этом обеим точкам соответствует меньшая полезность.
В условиях равновесия предельная норма замещения для всех инвесторов равна рыночной ставке процента, а та, в свою очередь, равна предельной норме трансформации для производственных инвестиций. Математически предельные нормы замещения для инвесторов i и j выглядят следующим образом:
MRSi = MRSj = –(1 + r) = MRT.
Вопросы и задания к главе 1
1. Почему экономическая система с рынками капитала лучше, чем экономическая система без них?
2. Что такое кривые безразличия?
3. Каким образом происходит процесс принятия решений в условиях рынка капитала?
4. Изобразите графически теорему разделения Фишера для случая, когда инвестор прекращает предоставление кредита на финансовом рынке. Отметьте на графике следующие точки: первоначальные средства W0; оптимальное производство/инвестирование (P0, P1); оптимальное потребление (C0*, C1*); настоящую стоимость конечного дохода W0*.
5. Проиллюстрируйте графически процесс принятия решений, с которым сталкивается инвестор в условиях экономики с одним лицом, где:
накопление средств является единственной возможностью инвестирования;
не существует рынков капитала.
6. Изобразите графически множество инвестиционных возможностей, состоящее из N проектов с одинаковой нормой доходности R*.
7. Множество производственных возможностей инвестора в условиях полной определенности выглядит следующим образом:
Проект Инвестиционные затраты, $ Норма доходности, %
A 1000 000 8
B 1000 000 20
C 2000 000 4
D 3000 000 30
1. Изобразите графически множество производственных возможностей в системе координат с осями C0, C1.
2. Изобразите линию рынка капитала для оптимального инвестиционного решения в условиях, когда рыночная норма доходности равна 10%.
Глава 2
Теория предпочтений в условиях неопределенности
Введение
Экономика — это наука о том, как общество предпочитает размещать ограниченные ресурсы и распределять доход между ними с течением времени, следовательно, необходимо понимать, что является объектом предпочтений, а также какие методы выбора имеются в распоряжении инвесторов. Следующие две главы посвящены объектам предпочтения, с которыми сталкивается инвестор. Здесь же мы рассмотрим, как инвесторы совершают свой выбор, когда сталкиваются с неопределенностью. Позже, когда станет понятной теория предпочтений и объекты предпочтений, мы скомбинируем их для того, чтобы выработать теорию принятия оптимальных решений в условиях неопределенности. В частности, мы рассмотрим, как происходит распределение ресурсов в экономической системе, где цены обеспечивают систему сигналов для оптимального распределения ресурсов.
Мы начнем с обсуждения аксиом поведения, принятых в экономической науке. Однако мы должны осознавать, что существуют и другие теории поведения. Социальные науки, такие как антропология, психология, политология, социология, также обеспечивают глубокое понимание теории предпочтений. Поэтому мы вынуждены признать, что инвесторы имеют различные склонности относительно временных предпочтений и в различной степени являются не склонными к риску, но экономическая наука не может объяснить причин этих различий — изучением этих проблем занимаются социальные науки.
Итак, в данной главе мы уделим внимание тому, как осуществляется выбор между не относящимися к определенному моменту времени рисковыми альтернативами, т. е. теории предпочтений инвестора. Теория начинается с пяти предпосылок о поведении инвесторов, когда они сталкиваются с задачей ранжирования рисковых альтернатив, а также с предпосылки о ненасыщаемости. Заканчивается теория параметризированием объектов предпочтений путем определения математического ожидания и дисперсии доходности и графическим изображением альтернатив между ними, которые обеспечивают равную полезность для инвесторов. Этим графическим изображением являются кривые безразличия для не относящихся к определенному моменту времени (т. е. однопериодных) предпочтений в условиях неопределенности.
Аксиомы предпочтения в условиях неопределенности
Известные под названием аксиом количественной полезности предпосылки о поведении инвесторов обеспечивают минимальный набор условий последовательного и рационального поведения.
Аксиома 1. Сравнимость. Осуществляя выбор между двумя исходами простой лотереи, инвестор может сказать, что либо исход x более предпочтителен, чем исход y (х у), либо y более предпочтителен, чем x (у х), либо он безразличен по отношению к ним (x ~ y).
Аксиома 2. Транзитивность. Если исход x более предпочтителен, чем y, и y более предпочтителен, чем z, то x более предпочтителен, чем z (если х у и у z, то х z). Если инвестор безразличен по отношению к исходам x и y и также безразличен по отношению к исходам y и z, то он безразличен по отношению к исходам x и z (если x ~ y и y ~ z, то x ~ z).
Аксиома 3. Строгая независимость. Предположим, мы составили лотерею, по которой вероятность исхода x равна a, а вероятность исхода z равна (1– a). Эту лотерею можно записать, как G(x, z : a). Строгая независимость означает, что если инвестор безразличен по отношению к исходам x и y, то он также будет безразличен по отношению к двум лотереям, одна из которых имеет взаимоисключающие исходы x с вероятностью a и z с вероятностью (1 – a), а другая — взаимоисключающие исходы y с вероятностью a и тот же исход z (если x ~ y, то G(x, z : a) ~ G(y, z : a)).
Аксиома 4. Измеримость. Если исход y менее предпочтителен, чем исход x, но более предпочтителен, чем исход z, то существует единственная вероятность a, такая, что инвестор будет безразличен по отношению к исходу y и лотерее с исходами x с вероятностью a и z с вероятностью (1 – a) (если х у z, то ~G(x, z : a)).
Аксиома 5. Ранжирование. Если и значение исхода y, и значение исхода u находятся между значениями исходов x и z и можно составить такие лотереи, что инвестор будет безразличен по отношению к исходу y и лотерее с исходами x (с вероятностью a1) и z, при том что он также безразличен по отношению к исходу u и второй лотерее с исходами x (с вероятностью a2) и z, то, если a1 больше чем a2, исход y более предпочтителен, чем исход u (если х у z и х u z, то при условии что y ~ G(x, z : a1) и u ~ G(x, z : a2), это означает, что, когда a1 > a2, тогда y u, или, когда a1 = a2, тогда y ~ u).
Все эти аксиомы можно для простоты свести к следующим предпосылкам. Во-первых, предполагается, что все инвесторы всегда принимают рациональные решения. Во-вторых, предполагается, что инвесторы способны совершать рациональный выбор среди множества альтернатив.
Как уже было сказано, к вышеперечисленным аксиомам добавляется предпосылка о ненасыщаемости, т. е. о том, что все инвесторы всегда предпочитают больший доход меньшему. Предельная полезность всегда положительна. Для того чтобы изобразить графически предпочтения инвесторов, введем функцию полезности, которая ставит в соответствие различным альтернативам единицу измерения полезности.
Методы анализа рынка капитала. / Коростелева М. В. - СПб: Питер, 2003. - 144 с.
|