В учебном пособии рассматриваются вопросы, традиционно входящие в курс «Математические методы исследования операций в экономике», преподаваемый в вузах финансово-экономического профиля: основы теории линейного и нелинейного программирования, методы решения специальных задач линейного программирования, основы динамического программирования и элементы теории игр. Пособие предназначено для оказания помощи студентам в обобщении и конкретизации знаний по данному предмету, закреплении изученного материала и подготовке к сдаче экзаменов.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие
Вопрос 1. Предмет исследования операций. Основные этапы операционного исследования в экономике. Экономико-математические модели.
Вопрос 2. Экономико-математическая модель простейшей задачи производственного планирования.
Вопрос 3. Определение задачи линейного программирования. Общая и каноническая форма задачи линейного программирования.
Вопрос 4. Построение канонической формы для задачи линейного программирования.
Вопрос 5. Первая геометрическая интерпретация задачи линейного программирования и графический метод ее решения.
Вопрос 6. Основные теоремы линейного программирования.
Вопрос 7. Вторая геометрическая интерпретация задачи линейного программирования. Базисные решения задачи линейного программирования.
Вопрос 8. Свойства базисных решений задачи линейного программирования.
Вопрос 9. Симплекс-метод, общая характеристика. Основные идеи и их геометрическая иллюстрация.
Вопрос 10. Критерий оптимальности допустимого базисного плана в симплекс-методе.
Вопрос 11. Правила преобразования текущего базисного плана и перехода к следующему плану симплекс-методе.
Вопрос 12. Описание алгоритма симплекс-метода и табличная организация вычислительного процесса.
Вопрос 13. Сходимость симплекс-метода. Вырожденность в задачах линейного программирования.
Вопрос 14. Нахождение допустимого базисного плана для задачи линейного программирования.
Вопрос 15. Модифицированный симплекс-метод (вычислительная схема, основанная на преобразовании обратных матриц).
Вопрос 16. Понятие двойственной задачи в линейном программировании.
Вопрос 17. Теоремы двойственности и их применение.
Вопрос 18. Экономическая интерпретация двойственной задачи линейного программирования.
Вопрос 19. Анализ параметрической устойчивости решений задачи линейного программирования.
Вопрос 20. Двойственный симплекс-метод. Основные идеи. Критерий оптимальности. Правило выбора очередного столбца, вводимого в базис.
Вопрос 21. Алгоритм и табличная реализация двойственного симплекс-метода.
Вопрос 22. Особенности применения и преимущества двойственного симплекс-метода.
Вопрос 23. Общая постановка задачи нелинейного программирования.
Вопрос 24. Применение метода Лагранжа для решения задач условной оптимизации.
Вопрос 25. Градиентные методы решения задач безусловной оптимизации.
Вопрос 26. Особенности оптимизационных задач для выпуклых функций. Выпуклое программирование.
Вопрос 27. Метод допустимых направлений.
Вопрос 28. Понятие седловой точки. Теорема Куна-Таккера (достаточное условие экстремума).
Вопрос 29. Теорема Куна-Таккера (необходимое условие экстремума, без доказательства). Понятие двойственности для нелинейных задач и его практическое значение.
Вопрос 30. Транспортная задача в матричной постановке и ее свойства.
Вопрос 31. Методы построения допустимого базисного плана для транспортной задачи в матричной постановке.
Вопрос 32. Критерий оптимальности для транспортной задачи в матричной постановке.
Вопрос 33. Метод потенциалов для решения транспортной задачи в матричной постановке.
Вопрос 34. Графы, сети и потоки. Транспортная задача в сетевой постановке.
Вопрос 35. Метод потенциалов для решения транспортной задачи в сетевой постановке.
Вопрос 36. Задача о кратчайшем пути в сети.
Вопрос 37. Общая постановка задач дискретного и целочисленного программирования.
Вопрос 38. Задачи с неделимостями и комбинаторные задачи. Примеры.
Вопрос 39. Задачи с разрывными целевыми функциями.
Вопрос 40. Метод Гомори: основные идеи и краткое описание алгоритма.
Вопрос 41. Метод ветвей и границ: общая схема.
Вопрос 42. Применение метода ветвей и границ для решения целочисленной задачи линейного программирования.
Вопрос 43.Постановка задачи динамического программирования. Основные идеи вычислительного метода динамического программирования.
Вопрос 44. Применение алгоритма динамического программирования для решения задач, допускающих табличное задание рекуррентных соотношений.
Вопрос 45. Принцип оптимальности Беллмана.
Вопрос 46. Задача "о найме работников" и применение для ее решения вычислительных методов динамического программирования.
Вопрос 47. Однопродуктовая задача управления запасами и применение вычислительной схемы динамического программирования для ее решения.
Вопрос 48. Предмет теории игр. Понятие игры. Классификация игр.
Вопрос 49. Матричные игры. Понятие седловой точки. Решение игры.
Вопрос 50. Смешанные стратегии в матричных играх. Основная теорема матричных игр.
Вопрос 51. Сведение решения матричной игры к задаче линейного программирования. Графические методы решения матричных игр.
Литература
ОТРЫВОК
Предисловие
Главная цель, поставленная перед настоящей книгой, - оказание помощи студентам в процессе подготовки к сдаче экзаменов или зачетов по курсу "Математические методы исследования операций в экономике". В этот период, как известно, нужно не просто повторить ранее изученное или устранить существующие пробелы в знаниях. Важно также осмыслить и обобщить накопленный материал, постараться взглянуть на него в целом, что, в свою очередь, позволяет лучше понять и проследить взаимосвязи и зависимости между отдельными разделами курса. Как показывает опыт, очень часто решению таких задач способствует организация материала по принципу "вопрос - ответ".
Следует подчеркнуть, что курс по исследованию операций занимает ключевую позицию в образовательных программах студентов большинства финансово-экономических специальностей. Это объясняется тем, что в процессе его освоения у учащихся должно сформироваться понимание принципов, лежащих в основе оптимизационных подходов в экономике, также они должны познакомиться с основными классами экономико-математических оптимизационных моделей, формулируемых в рамках этих моделей задач и соответствующих методах поиска их решений. Все эти вопросы образуют своеобразный фундамент, необходимый в современных условиях любому квалифицированному специалисту в области экономики и финансов.
Формирование исследования операций как самостоятельной научной дисциплины относится к периоду 40-х и 50-х годов. Последующие полтора десятилетия были отмечены широким применением полученных фундаментальных теоретических результатов к разнообразным практическим задачам и связанным с этим переосмыслением потенциальных возможностей теории. Важный вклад в данную область внесли такие видные ученые, как Дж. Данциг, Дж. фон Нейман, Г. Кун, Д. Гейл, К. Эрроу, Р. Беллман, Р. Гомори, Т. Саати и др. Обращаясь к задачам и проблемам, составляющим предмет исследования операций, нельзя не вспомнить о вкладе, внесенном в их решение представителями отечественной научной школы, среди которых в первую очередь должен быть назван Л. В. Канторович, ставший в 1975 г. лауреатом Нобелевской премии за свои работы по оптимальному использованию ресурсов в экономике. Среди других отечественных специалистов, успешно работавших в этой области, безусловно должны быть названы Е. С. Вентцель, М. К. Гавурин, Н. Н. Моисеев, Д. Б. Юдин.
Непременным условием успешного усвоения тем, составляющих содержание данного курса, является владение базовыми понятиями и фактами из курсов математического анализа (дифференциального исчисления) и линейной алгебры. Как правило, у студентов, успешно справившихся с этими курсами, не возникает трудностей с исследованием операций. В то же время иногда у отдельных учащихся в ходе чтения описаний оптимизационных алгоритмов возникает "психологический барьер" при восприятии системы обозначений. Внешне она представляется весьма громоздкой. Лучший совет по преодолению данной трудности будет состоять в пожелании проявить упорство и усидчивость на начальных этапах освоения материалу, что позволит достаточно быстро избавиться от необоснованного страха перед двойными или тройными индексами, а также понять основные правила их применения.
Количественно и содержательно список вопросов, раскрываемых в настоящем издании, составлен таким образом, чтобы он соответствовал экзамену, завершающему семестровый курс по дисциплине "Математические методы исследования операций в экономике" (из расчета две лекции в неделю). Такие курсы читаются на экономическом факультете Санкт-Петербургского Государственного университета для студентов специальностей "Теоретическая экономика", "Мировая экономика и международные отношения", "Финансы и кредит".
Обращаясь непосредственно к тем, кто принял решение готовиться по данной книге, автор хочет выразить надежду, что те сведения, которые Вы успеете подчерпнуть из нее, принесут Вам удачу на экзамене. И, как говорится, ни пуха, ни пера...
Математические методы исследования операций. Завтра экзамен. / Конюховский П. В. - СПб: Питер, 2000. - 192 с.
|